2019一级结构工程师《钢筋混凝土结构》讲义：第六章第四节

6.4 偏心受压长柱的二阶弯矩

6.4.1 偏心受压构件纵向弯曲引起的二阶弯矩

纵向弯曲引起的二阶弯矩随着构件两端弯矩的不同而不同，可分为三种情况：

1.构件两端作用有相等的端弯矩情况(M0= Nei)

图 6-17 两端弯矩相等时的二阶弯矩

(1) 构件上任一点的弯矩 M

M = M0 + Ny = Nei + Ny

式中 Nei —— 一阶弯矩;

Ny —— 由纵向弯曲引起的二阶弯矩。

(2) 构件上的最大挠度或最大弯矩 Mmax

最大挠度或最大弯矩均发生在柱的中点。令 f 为最大弯矩 Mmax 点的挠度，则有

Mmax = Nei + N f

显然，N f是偏心受压构件上由纵向弯曲引起的最大的二阶弯矩(以下简称二 阶弯矩)

(3) 临界截面(或称最危险截面)

承受 N 和 Mmax 作用的截面。设计时取临界截面上的内力为内力控制值。

(4) 特点

一阶弯矩最大处与二阶弯矩最大处相重合，一阶弯矩增加的最多，即临界截面上的弯矩最大。

2.两个端弯矩不相等但符号相同的情况 (M2> M1)

图 6-18 两端弯矩不等时的二阶弯矩

(1) 构件上的最大挠度或最大弯矩 Mmax

最大挠度或最大弯矩均发生在离端部的某一距离处。

Mmax = M0 + N f

(2) 特点

一阶弯矩最大处与二阶弯矩最大处不重合，由于 M0 < M2，所以临界截面上的弯矩Mmax要比两端弯矩相等时的小，即二阶弯矩对杆件的影响有所降低。可以证明，随着 M2 和 M1 相差越大，杆件中临界截面上的弯矩Mmax 越小，即二阶弯矩对杆件的影响越小。

3.两端弯矩不相等而符号相反的情况(M2= Ne0 , M1= -Ne1) 图6—19

图 6-19 两端弯矩不相等而符号相反时的二阶弯矩

(1) 构件上的最大挠度或最大弯矩 Mmax

最大挠度在离端部的某一距离处;而最大弯矩Mmax = M0 + N f有两种可能的分布：

1)发生在柱端

Mmax = M2

即二阶弯矩的存在并不引起一阶弯矩的任何增加。

2)发生在离端部的某一距离处

Mmax = M0 + N f

由于 M0 < M2较多，所以一阶弯矩将增加很少，Mmax 比M2 稍大。

(2) 特点

沿构件产生一个反弯点，一阶弯矩最大处与二阶弯矩最大处不重合，一阶弯矩将增加很少或可能不增加。

6.4.2 结构有侧移时偏心受压构件的二阶弯矩

上述二阶弯矩分布的规律，仅适用于没有水平侧移或水平侧移可忽略不计的结构中的偏心受压构件，即指偏心受压构件的两端没有发生相对位移的情况。当结构有侧移且同一楼层所有柱的侧移相等(详见下册第14章)时，由于结构的侧移使偏心受压构件的挠曲线发生了变化，其二阶弯矩分布规律也发生了变化。

现以结构力学中的简单刚架为例进行说明，如图6-20(a)所示。该刚架承受水平荷载F和压力N。在没有压力N作用时由F单独引起的侧移和一阶弯矩如图6-20(a)、(b)所示，相应的框架变形用虚线给出;当N作用时，产生了侧移和杆件变形增大，其变形用实线表示，框架的总侧移△和二阶弯矩如图6-20(a)、(c)所示，此时二阶弯矩为结构侧移和杆件变形所产生的附加弯矩的总和。可以看出，最大的一阶弯矩和二阶弯矩均在柱端且符号相同，此时临界截面上的弯矩为一阶弯矩与二阶弯矩之和。

应该指出，框架形状的不对称、竖向荷载的不对称或两者都不对称等情况都会使框架产生侧移。在这种情况下，柱轴向压力N的存在也会产生与前相同的挠度和弯矩的增大。因此各类结构的偏心受压构件正截面承载力计算，当二阶弯矩不可忽略时，均应考虑结构侧移和构件纵向弯曲变形引起的二阶弯矩。

6.4.3 偏心距增大系数η

1. 二阶弯矩影响的考虑方法

我国《混凝土结构设计规范》对长细比 lo/i较大的偏心受压构件，采用把初始偏心距ei值乘以一个偏心距增大系数η来近似考虑二阶弯矩的影响。即

ei + f =(1+f/ei)ei = ηei (6-12)

ei = e0 + ea

式中 f ── 长柱纵向弯曲后产生侧向最大挠度值;

η—— 考虑二阶弯矩影响的偏心距增大系数;

ei ── 初始偏心矩;

e0 ── 轴向力对截面重心的偏心矩，e0 = M/N;

ea ── 附加偏心矩，取偏心方向截面尺寸的1/30和20mm中的较大者;

附加偏心距 ea 是考虑荷载作用位置的不定性、混凝土质量的不均匀性和施工误差等因素的综合影响。

2. η值计算公式(η—l0法)

η= 1+(l0/ h)2ζ1ζ2/1400(ei/ h0) (6-20)

式中 l0 ── 构件的计算长度;

h ── 偏心方向截面尺寸，圆形截面取直径d;环形截面取外直径D;

h0 ── 截面的有效高度;

ζ1 ── 偏心受压构件截面曲率修正系数;

ζ1 = 0.5fcA/N (6-17)

当ζ1> 1.0时，取ζ1 = 1.0

ζ2 ── 偏心受压构件长细比对截面曲率的影响系数;

当 l0/h<15时， ζ2 = 1.0

当 l0/h=15～30时，ζ2=1.15-0.01 l0/h

A ── 构件的截面面积， A = bh + (bfˊ-b)hfˊ