2010注册结构工程师备考：例题(16)

　　(三)例题

　　[例4-3-19] 图4-3-54所示的悬臂梁，在自由端上挂一弹簧，弹簧上悬挂一重P的 物体。设在力P作用下弹簧的静伸长为δst，梁的自由端的静挠度为fst。如给重物一初速度v0，试求重物的自由振动方程。梁和弹簧的质量均忽略不计。

　　[解] 悬臂梁对物体的作用相当于一弹簧，根据悬臂梁端点的静挠度fst可算出此梁 在端点沿铅垂方向的刚性系数为

　　类似地，可算出悬挂弹簧的刚性系数为

　　于是，图4—3—54(a)所示振动系统可以抽象为图4—3—54(b)所示的串联弹簧系统。又因串联弹簧可用一等效弹簧来替代，其当量刚性系数为

　　最终该系统可简化为图4—3—54(c)所示的质量弹簧系统。现以此力学模型进行求解。

　　(1)对象。取重物为研究对象。

　　(2)运动分析：重物由于初始干扰，沿铅垂方向作自由振动。为了简便，选取重物的静平衡位置O为坐标原点，x轴向下为正。t=0时x0=0， 。

　　(3)受力分析。通常，将重物放在x轴正向的任一位置上进行受力分析。作用其上的力有重力P和弹性力F，力F在x轴上的投影为

　　(4)列运动微分方程，并求解振动规律。由F=ma得

　　因重物处于静平衡位置时，重力P与静变形引起的弹性力F0平衡，即有

　　故上式可简化为

　　即

　　式中

　　由表4—3—11所示的公式，可知式(3)的通解为

　　根据初始条件x0=0， ，可分别求得振幅A及初位相α为

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