岩土工程师基础考试：不定积分

　　不定积分

　　设F(x)是函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+C(C为任意常数)叫做函数f(x)的不定积分，记作，即∫f(x)dx=F(x)+C.

　　其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分.

　　由定义可知：

　　求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C，就得到函数f(x)的不定积分.

　　总体来说定积分和不定积分的计算对象是不同的

　　所以他们才有那么大的区别

　　不同：

　　不定积分 定积分

　　定义： 原函数族 分割、近似求和、取极限

　　“输入”： 函数f 函数f 及积分上下限a,b

　　“输出”结果 原函数族 实数(定积分值)

　　(包含积分常数)

　　相通：

　　1 变上限积分函数(即定积分值随上限变化产生的函数)即为一个原函数(加上积分常数后即为不定积分)

　　有些函数(如e^(-x^2))的原函数不是初等函数，也就是说不定积分写不出来。但是其定积分可以通过某些手段求得或近似求得，此时可以近似得用定积分的结果来计算原函数的某些性质，如增减性、极值、图像等等。

　　2 (牛顿-莱布尼茨公式): 定积分的值可以表示为函数的任意一个原函数(可以通过不定积分来求解)在积分上下限的函数值之差。

　　由于这个公式的存在，我们一般是通过计算不定积分的结果来计算定积分的。

　　3 两种积分的存在性是相同的。由于不定积分的存在性较难讨论，我们一般是通过被积函数在任意区间上的定积分是否存在来讨论函数是否“可积”的。

　　定积分确切的说是一个数,或者说是关于积分上下限的二元函数,也可以成为二元运算,可以这样理解∫[a,b]f(x)dx=a*b,其中*即为积分运算(可以类比简单的加减运算,只不过这时定义的法则不一样,加减运算是把二维空间的点映射到一维空间上一个确定的点,定积分也一样,只不过二者的法则不一样);

　　不定积分也可以看成是一种运算,但最后的结果不是一个数,而是一类函数的集合.

　　对于可积函数(原函数是初等函数)存在一个非常美妙的公式

　　∫[a,b]f(x)dx=F(b)-F(a)

　　其中F'(x)=f(x)或∫f(x)dx=F(x)+c

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