2018年一级结构工程师《理论力学》重点：刚体力学

刚体力学

一、基本概念和整体认识

1，刚体：特殊质点组，任意两质点的距离保持不变，类似于质点是一种理想情况，相对于所研究的问题，当物体的大小和形状的变化，可以忽视时，则物体可当做刚体。

2，刚体空间位置的确定，只需确定不共线的三点位置坐标，但由于任意两点的位置不变，受到三个约束，所以只需6个即可

3，刚体运动的分类 根据运动时的限制，需要的独立变量数可少于6个，

根据限制的不同，把刚体的运动分为：

(1) 平动：任意两质点的联线在任意两个不同的时刻，都保持平行，各个质点的运动情况完全相同，所以任意一质点的运动即可代表整个刚体的运动，显然只需3个独立变量

(2) 定轴转动：刚体运动时，始终有两点不动的运动，该两点的连线即为固定的转动轴，只需确定刚体绕该定轴转过多少度，所以只需一个独立变量

(3) 平面平行运动：刚体运动时，始终与一固定平面平行的运动，可分解为质心的平面平动和绕统过质心并垂直于该平面的转动(由轴线取向不变，所以相当于一定转动)，因而需要3个独立变量

(4) 定点转动：刚体运动时，只有一个点不动，刚体只能绕通过这个点的轴线转动，显然轴线的取向是可以不断发生变化的，确定轴线的空间取向(三个方向余旋，但三方向余旋平方和为1)，所以只需两个独立变量，但还需一个变量来确定绕轴线转过的角度，因此总共需三个独立变量。通常用三个独立的欧拉角来描述，即进动角

(5) 一般运动：不受任何约束，一般分解为质心的平动和绕质心的定点转动，因而需6个独立变量。

1， 描述刚体运动，最基本的物理量是角速度，即描述刚体绕某个点和轴线转动的快慢，是一矢量(相应于无限小转动，无限小转动是可对易的(交换先后两次的转动顺序，结果不 变)，而有限转动是不可对易的) ，方向用右手螺旋法则来确定。

2， 刚体的欧拉运动学方程，刚体定点转动时，把角速度(注意是状态量)投影到固连在刚体上随刚体一块运动的随动坐标系上(只做为计算的工具，在后面的刚体的平面平行运动学和刚体的定点转动运动学，及非惯性系运动学、动力学，都常常这么做)，但运动参照系仍是地球，而得其分量式，描述了角速度分量随欧拉角及时间之间的变化关系

一、 刚体的运动方程与平衡方程

1、 力系的简化

由于刚体受力可能纷繁复杂，所以首先要对刚体的力系进行简化

1) I，非平行共面力系的简化

应用的基本原理是力的可传性原理，力可沿作用线滑移而不改变作用效果(但作用线不能随便移动)。所以可以采用两两相交的办法求得非平行共面力系的合力

II，平行共面力系的简化，采用合力对垂直于该平面的某一轴线的力矩与所有平行力对该轴线的力矩之代数和相等，来求得合力大小和作用点

平面平行力系中存在一特殊情况，即由一对对大小相等，方向相方的平行力所组成，其中的任何一对平行力，我们称为力偶，其唯一的作用效果是产生力偶矩，垂直于该平面，但作用点不固定，称为自由矢量

大小：其中一力乘以力偶臂(两平行力的距离)

方向：右手螺旋法则

也等于其中一力对另一个力作用点的力矩

这样的平面平行力，可简化为一合力偶，可能是零，可能不是零

2) 空间力系的简化

共点力系和平行力系的简化，与平面情况类似，关键是既不平行也不共面的力系：

利用力偶的知识，我们可根据问题的方便，选择一简化中心(通常是质心)，于是刚体上任意一力可以迁移到该点，为了消除迁移的影响(移动了作用线)，必须加上一力偶，即加上未迁移前，该力对简化中心的力矩。因而所有力迁移到简化中心后，就有一合力和合力矩，我们称为主矢(作用效果使刚体平动)和主矩(作用效果使刚体绕通过简化中心的轴线转动)。显然简化中心不一样，主矢不变，主矩一般要改变，但显然不能因为人为选择的简化中心的不同而改变刚体的运动状态

2， 刚体的运动微分方程

根据前面的分析，刚体的运动一般分解为质心的平动和绕质心的定点转动，因此质心为简化中心，力系简化为一主矢和一主矩，我们利用质心的运动定理处理质心的平动和应用对质心的角动量定理处理绕质心的定点转动即可处理刚体的一般运动。

注意对轴线的力矩和角动量，一定是先求对点的力矩和角动量，再投影到该轴线上来做的;若对另外两坐标轴没有力矩(共面力系，平面运动)，则此时对点和对轴线的力矩相等。

3、 刚体的平衡方程

以任意点为简化中心显然要求主矢为零，主矩为零

三 、刚体的转动惯量

1， 刚体的角动量和转动动能

2， 转动惯量

3， 惯量张量和惯量椭球， 惯量主轴及求法

四， 刚体的平动和绕固定轴的转动

明确平动(3个独立变量)与定轴转动(1个独立变量)的概念

注意是对轴线上某点的角动量定理，在转轴上的投影，所以是标量式，应用该式解决动力学问题，需解决两个问题

I， 刚体对定轴的转动惯量

II， 所有外力对定轴力矩之代数和

前面讲过，对力对轴的力矩一定是先求得对轴线上某点的力矩，然后再往该轴线投影而得，看起来很麻烦，实则不然。我们所遇到的情况，基本都是共面力系的情形(包括后面的平面平行运动)，所以所有外力对转轴的力矩等于对转轴与该面的交点的力矩(经过交点的力，如约束反力，对该点则无力矩)，因而大小就等于该力乘以交点到力的作用线的垂直距离，方向用右手螺旋法则判断，要特别强调正负的取法，与平衡问题不同，这里是先确定角位移，再根据右手螺旋法则确定力矩的正方向。从而求得个外力对轴线与平面交点的力矩之代数和

若刚体所受的外力中，只有保守力做功，则机械能守恒，该类问题也可结合机械能守恒定律来求解

1) 轴承上的附加压力(通常是非共面力系)

应用动量定理和对轴花上某点的角动量定理求解

若要使刚体处于动平衡，即转动时使刚体所受的轴承施加的作用力与静止时相等，则要求刚体的转轴为惯量主轴，且质心在转轴上，所以制造和安装机器的转动部分时需要尽可能满足上述两条件，否则附加杂轴承上的压力会产生很大的破坏作用。

五， (重点考查)刚体的平面平行运动(需3个独立变量)

明确概念，由于刚体做平面平行运动时始终与某一固定平面平行，因此截取一平行于该固定平面的薄片做为代表，即可研究刚体平面平行运动的运动学和动力学(动力学要求是通过质心的薄片)

六、刚体的定点转动(3个独立变量)

明确概念

空间极面：刚体定点转动时转动瞬轴在静止坐标系所描出的锥面

本体极面：刚体定点转动时转动瞬轴相对于刚体自身所描出的锥面