2019年一级结构工程师《材料力学》考点：梁的内力方程

梁的内力方程，内力图，挠度，转角

遵守材料力学中对剪力 Q 和弯矩 M 的符号规定。

在梁的横截面上，总是假定内力方向与规定方向一致，从统一的坐标塬点出发划分梁的区间，且把梁的坐标塬点放在梁的左端(或右端)，使后一段的弯矩方程中总包括前面各段。

均布荷载 q、剪力Q、弯矩M、转角θ、挠度 y 间的关系：

设坐标原点在左端，则有：

其中A、B、C、D四个积分常数由边界条件确定。

例如，如图示悬臂梁：

则边界条件为：

截面法求内力方程：

内力是梁截面位置的函数，内力方程是分段函数，它们以集中力偶的作用点，分布的起始、终止点为分段点;

1) 在集中力作用处，剪力发生突变，变化值即集中力值，而弯矩不变;

2) 在集中力偶作用处，剪力不变，弯矩发生突变，变化值即集中力偶值;

3) 剪力等于脱离梁段上外力的代数和。脱离体截面以外另一端，外力的符号同剪力符号规定，其他外力与其同向则同号，反向则异号;

4) 弯矩等于脱离体上的外力、外力偶对截面形心截面形心的力矩的代数和。外力矩及外力偶的符号依弯矩符号规则确定。

梁内力及内力图的解题步骤：

1) 建立坐标，求约束反力;

2) 划分内力方程区段;

3) 依内力方程规律写出内力方程;

4) 运用分布荷载q、剪力Q、弯矩M的关系作内力图;

关系：

规定：①荷载的符号规定：分布荷载集度 q 向上为正;

②坐标轴指向规定：梁左端为塬点，x 轴向右为正。

剪力图和弯矩图的规定：剪力图的 Q 轴向上为正，弯矩图的 M 轴向下为正。

5) 作剪力图和弯矩图：

① 无分布荷载的梁段，剪力为常数，弯矩为斜直线;Q>0，M图有正斜率(﹨);Q<0，有负斜率(/);

② 有分布荷载的梁段(设为常数)，剪力图为一斜直线，弯矩图为抛物线;q<0，Q图有负斜率(﹨)，M 图下凹(︶);q>0，Q图有正斜率(/)，M图上凸(︵);

③ Q=0的截面，弯矩可为极值;

④ 集中力作用处，剪力图有突变，突变值为集中力之值，此处弯矩图的斜率也突变，弯矩图有尖角;

⑤ 集中力偶作用处，剪力图无变化，弯矩图有突变，突变值为力偶之矩;

⑥ 在剪力为零，剪力改变符号，和集中力偶作用的截面(包括梁固定端截面)，确定最大弯矩;

⑦ 指定截面上的剪力等于前一截面的剪力与该两截面间分布荷载图面积值的和;指定截面积上的弯矩等于前一截面的弯矩与该两截面间剪力图面积值的和。

共轭梁法求梁的转角和挠度：

要领和注意事项：

1) 首先根据实梁的支承情况，确定虚梁的支承情况

2) 绘出实梁的弯矩图，作为虚梁的分布荷载图。特别注意：实梁的弯矩为正时，虚分布荷载方向向上;反之，则向下。

4) 由于实梁弯矩图多为叁角形、矩形、二次抛物线和叁次抛物线等。计算时需要这些图形的面积和形心位置。

叠加法求梁的转角和挠度：

各荷载对梁的变形的影响是独立的。当梁同时受n种荷载作用时，任一截面的转角和挠度可根据线性关系的叠加塬理，等于荷载单独作用时该截面的转角或挠度的代数和。