岩土工程师基础考试：二重积分

　　设二元函数z=f(x,y)定义在有界闭区域D上,将区域D任意分成n个子域Δδi(i=1,2,3,…,n)，并以Δδi表示第i个子域的面积.在Δδi上任取一点(ξi,ηi),作和lim n→+∞ (n/i=1 Σ(ξi,ηi)Δδi).如果当各个子域的直径中的最大值λ趋于零时,此和式的极限存在,则称此极限为函数f(x,y)在区域D上的二重积分,记为∫∫f(x,y)dδ,即

　　∫∫f(x,y)dδ=lim n→+∞ (Σf(ξi,ηi)Δδi)

　　这时,称f(x,y)在D上可积,其中f(x,y)称被积函数,f(x,y)dδ称为被积表达式,dδ称为面积元素, D称为积分域,∫∫称为二重积分号.

　　同时二重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心，平面薄片转动惯量，平面薄片对质点的引力等等。此外二重积分在实际生活，比如无线电中也被广泛应用。

　　性质1 (积分可加性) 函数和(差)的二重积分等于各函数二重积分的和(差)，即

　　∫∫[f(x,y)±g(x,y)]dσ=∫∫f(x,y)dσ±∫∫g(x,y)dσ

　　性质2 (积分满足数成) 被积函数的常系数因子可以提到积分号外，即

　　∫∫kf(x,y)dσ=k∫∫f(x,y)dσ (k为常数)

　　性质

　　性质1与性质2合称为积分的线性性。

　　性质3 如果在区域D上有f(x,y)ㄑg(x,y),则∫∫f(x,y)dσㄑ∫∫g(x,y)dσ

　　推论 ㄏ∫∫f(x,y)dσㄏㄑ∫∫ㄏg(x,y)ㄏdσ

　　性质4 设M和m分别是函数f(x,y)在有界闭区间D上的最大值和最小值，σ为区域D的面积，

　　则mσㄑ∫∫f(x,y)dσㄑMσ

　　性质5 如果在有界闭区域D上f(x,y)=1, σ为D的面积，则Sσ=∫∫dσ

　　性质6 二重积分中值定理

　　设函数f(x,y)在有界闭区间D上连续，σ为区域的面积，则在D上至少存在一点(ξ，η)，使得

　　∫∫f(x,y)dσ=f(ξ，η)●σ

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