岩土工程师基础考试：三重积分

　　三重积分的定义

　　如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时这和的极限总存在，则称此极限为函数f(x y z)在闭区域上的三重积分。

　　体积元素

　　设三元函数z=f(x,y,z)定义在有界闭区域Ω上，将区域Ω任意分成n个子域Δvi(i=1,2,3，…，n)，并以Δvi表示第i个子域的体积.在Δvi上任取一点(ξi，ηi，ζi)，作和(n/i=1 Σ(ξi，ηi，ζi)Δvi).如果当各个子域的直径中的最大值λ趋于零时，此和式的极限存在，则称此极限为函数f(x,y,z)在区域Ω上的三重积分，记为∫∫∫f(x,y,z)dv，即

　　∫∫∫f(x,y,z)dv=lim λ→0 (n/i=1 Σf(ξi，ηi，ζi)Δvi)，其中dv叫做体积元素。

　　性质：

　　性质1

　　线性性质：

　　设α、β为常数，则 ∫∫∫[αf(x,y,z)+βg(x,y,z)]dv=α∫∫∫f(x,y,z)dv+β∫∫∫g(x,y,z)]dv。

　　性质2

　　如果空间闭区域G被有限个曲面分为有限个子闭区域，则在G上的三重积分等于各部分闭区域上三重积分的和。

　　性质3

　　如果在G上，且 f(x,y,z)ㄔ1，v为G的体积，则 vㄔ∫∫∫1dvㄔ∫∫∫dv.

　　性质4

　　如果在G上，f(x,y,z)≤φ(x,y,z)，则有 ，∫∫∫f(x,y,z)dv≤∫∫∫φ(x,y,z)dv，特殊地，∫∫∫f(x,y,z)dvㄏ≤∫∫∫f(x,y,z)dv.

　　性质5

　　设M、m分别为f(x,y,z)在闭区域G上的最大值和最小值，v为G的体积，则有 mv≤∫∫∫f(x,y,z)dv≤Mv.

　　性质6

　　设函数f(x,y,z)在闭区域G上连续，v是G的面积，则在G上至少存在一个点(ζ，η，μ)使得

　　∫∫∫f(x,y,z)dvㄔf(ζ，η，μ)v

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