环保工程师辅导之声波的传播和衰减(2)

　　(3)物态方程

　　媒质在声波作用下，引起压缩、膨胀的交替变化，媒质的密度和压强都发生了变化，即媒质的状态发生了变化。声波传播时，理想状态下媒质的密度发生变化，而没有能量的损耗，即为等熵绝热过程。

　　物态方程一般可写作： 考虑绝热条件，上式简化为： 理想状态的物态方程为： (4)波动方程

　　联立理想液体媒质中三个基本方程：连续方程式、运动方程式和物态方程式，可推出理想液体媒质中小振幅传播的 、 、 中任意变量的波动方程，得到以下三式：

　　声压波动方程： 密度波动方程： 振速波动方程： 波动方程分别反映了声压、密度、振速随时空变化的关系。式中拉普拉斯算子 在直角坐标系中展开为：

　　推导波动方程时，只是从媒质的基本特性出发，利用牛顿第二定律、物质守恒定律和绝热压缩方程，并未涉及声源及声场的具体情况，因此波动方程只反映声波在媒质传播过程的一般物理特性。

　　2、声波在空气中的传播

　　从理想液体媒质中的小振幅声波波动方程可看出，声压是空间和时间的函数，可以用来描述不同地点在不同时刻的声压变化规律。根据声波传播时波阵面形状的不同，可将声波分为平面波、球面波和柱面波。

　　(1)平面波

　　当声波的波阵面是垂直于传播方向的一系列平面时，称其为平面声波。

　　在平面波情况下， 只和 有关， ，故平面波的波动方程为：

　　其解为：

　　式中，符号“+”表示声波沿 负方向传播，符号“―”表示声波沿正方向传播，A为声压的幅值。

　　对于沿 正方向传播的简谐平面声波，声压的表达形式为： 式中， ，称为波数。可令 。

　　质点的振动速度为： ，式中 称为质点振动的速度振幅。

　　声波传播中一个重要的参数――声阻抗率，只与介质的密度 和介质中的声速 有关，而与声波的频率、振幅无关，单位是 。

　　平面波的特征阻抗为： 平面声波传播时具有下述特性：声压和质点速度同相位;在理想介质中声压不随距离变化;介质的质点速度也不随距离变化;空气的特征阻抗是常数;平面波的声强 ;平面波的声功率 。

　　(2)球面波

　　声波以球面波传播时， 只和球面坐标的 有关，其波动方程为：

　　令 代入上式得： 与平面波的波动方程一致，由此得到球面波的解的一般形式为：

　　式中，前项代表声波以速度 沿半径向外发散的球面波，后项代表向球心会聚的球面波(反射波)，在无限空间条件下不存在反射波。如果振动是简谐方式的，则上式变为：

　　根据运动方程得到径向质点振速与声压的关系：

　　因此球面波的声阻抗率为： 与平面波不同，辐射球面波时介质的声阻抗率是负数，它具有纯阻和纯抗两部分，并与半径 、波长 有关。因此，声压与质点不同相。球面波声阻抗的幅值为 ，它比平面波的声阻抗率要小。距离声源大时( )，声阻抗率接近平面波的特征阻抗。

　　球面声波通常具有如下的传播特性：

　　①理想介质中声压与球面波的半径成反比。

　　②声压与振速间的相位差与 成反比。

　　③介质声阻抗率为复数，当球面波半径很大时纯抗分量可以忽略。

　　④半径很大时声强 ，声强与距离平方成反比。

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